Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe/Lösung

  1. Es sei ein euklidischer Vektorraum und eine Orthonormalbasis von . Es sei

    eine lineare Abbildung und die beschreibende Matrix zu bezüglich der gegebenen Basis. Dann ist genau dann eine Isometrie, wenn

    ist.
  2. Es sei eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum und sei eine Basis von . Es sei die Gramsche Matrix zu bezüglich dieser Basis. Die Determinanten der quadratischen Untermatrizen

    seien alle von verschieden für . Es sei die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge

    Dann ist vom Typ

    .
  3. Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und

    ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

    1. ist asymptotisch stabil.
    2. Zu jedem konvergiert die Folge , , gegen .
    3. Es gibt ein Erzeugendensystem derart, dass , , gegen konvergiert.
    4. Der Betrag eines jeden komplexen Eigenwerts von ist kleiner als .