Lineare Funktion/3 Punkte/Fehlerquadratsumme/Beispiel

Von einer unbekannten Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ sei der Datensatz ${}(1,11),\,(4,20),\,(6,23)$ gegeben und es sei bekannt, dass ${}f$ eine affin-lineare Funktion sein muss. Der Datensatz beruht auf Messungen, in denen Fehler und Ungenauigkeiten vorkommen können, die drei Punkte liegen nicht wirklich auf einer Geraden. Es wird nach der affin-linearen Funktion ${}ax+b$ gesucht, die gut zu den Daten passt. Wir betrachten die Abbildung

$\Psi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(a,b)\longmapsto (a+b,4a+b,6a+b),$

die einem Parameterpaar ${}(a,b)$, das die affin-lineare Funktion ${}ax+b$ repräsentiert, die Auswertung an den drei Punkten ${}(1,4,6)$ zuordnet. Dabei ist ${}\Psi$ eine injektive lineare Abbildung und das Bild ${}U=\operatorname {bild} \varphi$ ist ein zweidimensionaler Untervektorraum von ${}\mathbb {R} ^{3}$. Diese Ebene steht senkrecht zum Vektor ${}{\begin{pmatrix}-2\\5\\-3\end{pmatrix}}$, eine Basis ist durch ${}{\begin{pmatrix}5\\2\\0\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}0\\3\\5\end{pmatrix}}$ gegeben (die unter ${}\Psi$ von der Basis ${}{\begin{pmatrix}-1\\6\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$ des ${}\mathbb {R} ^{2}$ herrührt). Die optimale Approximation (im Sinne der euklidischen Norm bzw. im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate) ist die orthogonale Projektion des Wertetupels ${}{\begin{pmatrix}11\\20\\23\end{pmatrix}}$ auf die Ebene. Dies führt zum linearen Gleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}11\\20\\23\end{pmatrix}}=\alpha {\begin{pmatrix}5\\2\\0\end{pmatrix}}+\beta {\begin{pmatrix}0\\3\\5\end{pmatrix}}+\gamma {\begin{pmatrix}-2\\5\\-3\end{pmatrix}}\,$

mit den Lösungen ${}\alpha ={\frac {218}{95}}$, ${}\beta ={\frac {901}{190}}$ und ${}\gamma ={\frac {9}{38}}$. Daher ist

${}p_{U}{\begin{pmatrix}11\\20\\23\end{pmatrix}}={\frac {218}{95}}{\begin{pmatrix}5\\2\\0\end{pmatrix}}+{\frac {901}{190}}{\begin{pmatrix}0\\3\\5\end{pmatrix}}={\frac {1}{190}}{\begin{pmatrix}2180\\3575\\4505\end{pmatrix}}={\frac {1}{38}}{\begin{pmatrix}436\\715\\901\end{pmatrix}}\,.$

Der entsprechende Punkt auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$ ist

${}{\frac {218}{95}}{\begin{pmatrix}-1\\6\end{pmatrix}}+{\frac {901}{190}}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}={\frac {1}{190}}{\begin{pmatrix}-436+901\\2616-901\end{pmatrix}}={\frac {1}{190}}{\begin{pmatrix}465\\1715\end{pmatrix}}={\frac {1}{38}}{\begin{pmatrix}93\\343\end{pmatrix}}\,.$

Die beste Approximation ist also

${}f(x)={\frac {93}{38}}x+{\frac {343}{38}}\,.$

Es ist ${}f(1)={\frac {436}{38}}\sim 11,473$, ${}f(4)={\frac {715}{38}}\sim 18,815$ und ${}f(6)={\frac {901}{38}}\sim 23,710$.