Lineare Projektion/Basis/2 -5/4 3/Aufgabe/Lösung

Die Projektion ${}\varphi$ ist durch die Bedingung

${}\varphi {\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}}\,$

und

${}\varphi {\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}\,$

eindeutig festgelegt. Bezüglich dieser Basis wird die Abbildung also durch die Matrix ${}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}$ beschrieben. Die Matrix bezüglich der Standardbasis ergibt sich hieraus mit Hilfe von Fakt. Dazu berechnen wir die inverse Basiswechselmatrix:

${}{\begin{pmatrix}2&4\\-5&3\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}2&4\\0&13\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0\\{\frac {5}{2}}&1\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&0\\{\frac {5}{26}}&{\frac {1}{13}}\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}{\frac {3}{26}}&-{\frac {2}{13}}\\{\frac {5}{26}}&{\frac {1}{13}}\end{pmatrix}}$

Daher ist

${}{\begin{pmatrix}2&4\\-5&3\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}{\frac {3}{26}}&-{\frac {2}{13}}\\{\frac {5}{26}}&{\frac {1}{13}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&0\\-5&0\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}{\frac {3}{26}}&-{\frac {2}{13}}\\{\frac {5}{26}}&{\frac {1}{13}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {3}{13}}&{\frac {-4}{13}}\\{\frac {-15}{26}}&{\frac {10}{13}}\end{pmatrix}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe