Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Inhomogen/y' ist y + t^2/y(3) ist 4/Beispiel

Wir betrachten die inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung

${}y'=y+t^{2}\,$

mit der Anfangsbedingung ${}y(3)=4$. Die Exponentialfunktion ${}a(t)=e^{t}$ ist eine Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung. Nach Fakt müssen wir daher eine Stammfunktion zu

${}{\frac {t^{2}}{e^{t}}}=t^{2}\cdot e^{-t}\,$

finden. Mit zweifacher partieller Integration findet man die Stammfunktion

${\left(-t^{2}-2t-2\right)}e^{-t}.$

Also haben die Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung die Form

${}e^{t}{\left({\left(-t^{2}-2t-2\right)}e^{-t}+c\right)}=-t^{2}-2t-2+ce^{t}\,.$

Wenn wir noch die Anfangsbedingung ${}y(3)=4$ berücksichtigen, so ergibt sich die Bedingung

${}-9-6-2+ce^{3}=-17+ce^{3}=4\,,$

also ${}c={\frac {21}{e^{3}}}$. Die Lösung des Anfangswertproblems ist also

${}y(t)=-t^{2}-2t-2+{\frac {21}{e^{3}}}e^{t}\,.$