Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/C/Lösbarkeit/Fakt/Beweis

Beweis

Aufgrund von Fakt ist die Matrix ${}M$ trigonalisierbar, d.h. es gibt eine invertierbare Matrix ${}B\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {C} })$ derart, dass

${}N=BMB^{-1}\,$

obere Dreiecksgestalt besitzt. Das lineare Differentialgleichungssystem ${}w'=Nw$ besitzt also die angegebene Gestalt, und es ist wegen Fakt äquivalent zum ursprünglichen System. Die letzte Zeile des neuen Systems, also

${}w_{n}'=c_{nn}w_{n}\,,$

ist eine lineare Differentialgleichung in einer Variablen, ihre Lösungen sind ${}w_{n}(t)=ae^{c_{nn}t}$. Die zweitletzte Zeile ist

${}w_{n-1}'=c_{n-1\,n-1}w_{n-1}+c_{n-1\,n}w_{n}\,,$

worin man die Lösung für ${}w_{n}$ einsetzen kann. Dann erhält man eine inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung in der einen Variablen ${}w_{n-1}$, die man mit dem angegebenen Lösungsverfahren lösen kann. Für die drittletzte Zeile sind dann ${}w_{n-1}$ und ${}w_{n}$ schon bekannt und dies führt wieder zu einer inhomogenen linearen Differentialgleichung für ${}w_{n-2}$. So erhält man sukzessive eine Gesamtlösung ${}(w_{1},\ldots ,w_{n})$. Eine Anfangsbedingung für ${}v'=Mv$ übersetzt sich direkt in eine Anfangsbedingung für ${}w'=Nw$. In dem soeben beschriebenen Lösungsverfahren gibt es dann jeweils eine Anfangsbedingung für die inhomogenen Differentialgleichungen, sodass die Lösungen jeweils eindeutig sind.

Zur bewiesenen Aussage