Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/R/Lösbarkeit/Fakt/Beweis

Beweis

Aufgrund von Fakt gibt es eine eindeutige komplexwertige Lösung

$v\colon \mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {C} }^{n}$

für dieses Differentialgleichungssystem. Da eine reellwertige Lösung insbesondere eine komplexwertige Lösung ist, liegt Eindeutigkeit vor. Der Realteil der komplexen Lösung, also

$\operatorname {Re} \,{\left(v\right)}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,t\longmapsto \operatorname {Re} \,{\left(v(t)\right)},$

ist ebenfalls eine Lösung dieses Systems. Wegen der Eindeutigkeit muss ${}v=\operatorname {Re} \,{\left(v\right)}$ sein.

Zur bewiesenen Aussage