Lineares Differentialgleichungssystem/Skalare Funktion/Eigenvektor/Lösung/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}G(t)$ eine Stammfunktion zu ${}g(t)$ . Wir behaupten, dass

{}v(t)=e^{\lambda G(t)}u\,

eine Lösung ist. Dies beruht auf

{}{\begin{aligned}v'(t)&={\begin{pmatrix}e^{\lambda G(t)}u_{1}\\\vdots \\e^{\lambda G(t)}u_{n}\end{pmatrix}}'\\&={\begin{pmatrix}(e^{\lambda G(t)}u_{1})'\\\vdots \\(e^{\lambda G(t)}u_{n})'\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\lambda g(t)e^{\lambda G(t)}u_{1}\\\vdots \\\lambda g(t)e^{\lambda G(t)}u_{n}\end{pmatrix}}\\&=\lambda g(t)e^{\lambda G(t)}{\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}}\\&=g(t)M{\left(e^{\lambda G(t)}{\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}}\right)}\\&=g(t)M{\begin{pmatrix}e^{\lambda G(t)}u_{1}\\\vdots \\e^{\lambda G(t)}u_{n}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}