Lineares homogenes Gleichungssystem/Elimination/2x+5y+2z-v, 3x-4y+u+2v, 4x -2z+2u/Beispiel

Wir knüpfen an die homogene Version von Beispiel an, d.h. wir betrachten das homogene lineare Gleichungssystem

${\begin{matrix}2x&+5y&+2z&&-v&=&0\\3x&-4y&&+u&+2v&=&0\\4x&&-2z&+2u&&=&0\,.\end{matrix}}$

über ${}\mathbb {R}$. Aufgrund von Fakt ist die Lösungsmenge ${}L$ ein Untervektorraum von ${}\mathbb {R} ^{5}$. Wir haben ihn in Beispiel explizit als

${\left\{u{\left(-{\frac {1}{3}},0,{\frac {1}{3}},1,0\right)}+v{\left(-{\frac {2}{13}},{\frac {5}{13}},-{\frac {4}{13}},0,1\right)}\mid u,v\in \mathbb {R} \right\}}$

beschrieben, woraus ebenfalls erkennbar ist, dass dieser Lösungsraum ein Vektorraum ist. In dieser Schreibweise wird klar, dass ${}L$ in Bijektion zu ${}\mathbb {R} ^{2}$ steht, und zwar respektiert diese Bijektion sowohl die Addition als auch die Skalarmultiplikation (die Lösungsmenge ${}L'$ des inhomogenen Systems steht ebenfalls in Bijektion zu ${}\mathbb {R} ^{2}$, allerdings gibt es keine sinnvolle Addition und Skalarmultiplikation auf ${}L'$). Allerdings hängt diese Bijektion wesentlich von den gewählten „Basislösungen“ ${}{\left(-{\frac {1}{3}},0,{\frac {1}{3}},1,0\right)}$ und ${}{\left(-{\frac {2}{13}},{\frac {5}{13}},-{\frac {4}{13}},0,1\right)}$ ab, die von der gewählten Eliminationsreihenfolge abhängen. Es gibt für ${}L$ andere gleichberechtigte Basislösungen.