Lipschitz-stetig/Verhalten unter Komposition/Aufgabe/Lösung

a) Sei Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante . Es ist also

für alle . Daher ist

und daher ist Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante .

b) Wir betrachten

mit

Diese Funktion ist Lioschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante , die sich nicht verbessern lässt. Es liegt also keine starke Kontraktion vor. Da positive Zahlen auf negative Zahlen abgebildet werden und diese auf , ist die Nullabbildung. Die höheren Hintereinanderschaltungen sind erst recht die Nullabbildung und dies ist eine starke Kontraktion.

c) Sei eine Lipschitz-Konstante für und ein Kontraktionsfaktor für . Es sei so gewählt, dass

ist. Sei

Für schreiben wir mit und

Da Lipschitz-Konstanten multiplikativ sind, gilt für diese Hintereinanderschaltung die Lipschitz-Konstante ( sei )

Es handelt sich also um starke Kontraktionen.