Lipschitz-stetig/Verhalten unter Komposition/Aufgabe/Lösung

a) Es sei ${}f$ Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante ${}L$. Es ist also

${}d(f(x),f(y))\leq Ld(x,y)\,$

für alle ${}x,y\in M$. Daher ist

${}d(f^{\circ n}(x),f^{\circ n}(y))\leq Ld(f^{\circ n-1}(x),f^{\circ n-1}(y))\leq \ldots \leq L^{n}d(x,y)\,$

und daher ist ${}f^{\circ n}$ Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante ${}L^{n}$.

b) Wir betrachten

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

mit

$f(x)={\begin{cases}0\,,{\text{ für }}x\leq 0\,,\\-2x\,,{\text{ für }}x>0\,.\end{cases}}$

Diese Funktion ist Lioschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante ${}2$, die sich nicht verbessern lässt. Es liegt also keine starke Kontraktion vor. Da positive Zahlen auf negative Zahlen abgebildet werden und diese auf ${}0$, ist ${}f^{\circ 2}$ die Nullabbildung. Die höheren Hintereinanderschaltungen sind erst recht die Nullabbildung und dies ist eine starke Kontraktion.

c) Es sei ${}L$ eine Lipschitz-Konstante für ${}f$ und ${}c<1$ ein Kontraktionsfaktor für ${}f^{\circ k}$. Es sei ${}m$ so gewählt, dass

${}L^{k}c^{m}<1\,$

ist. Sei

${}n_{0}=mk\,.$

Für ${}n\geq n_{0}$ schreiben wir ${}n=ak+r$ mit ${}r<k$ und

${}f^{\circ n}=f^{\circ ak}\circ f^{\circ r}={\left(f^{\circ k}\right)}^{a}\circ f^{\circ r}\,.$

Da Lipschitz-Konstanten multiplikativ sind, gilt für diese Hintereinanderschaltung die Lipschitz-Konstante (${}L$ sei ${}\geq 1$)

${}c^{a}L^{r}\leq c^{a}L^{k}\leq c^{m}L^{k}<1\,.$

Es handelt sich also um starke Kontraktionen.

Zur gelösten Aufgabe