Logarithmus/X^2+X+1/Ableitung/Aufgabe/Lösung

1. Die Ableitung ist ${}2x+1$, die einzige Nullstelle der Ableitung ist bei ${}x=-{\frac {1}{2}}$, in diesem Punkt nimmt die Funktion ihr Minimum an mit dem Wert

   ${}{\left(-{\frac {1}{2}}\right)}^{2}-{\frac {1}{2}}+1={\frac {3}{4}}>0\,,$

   also ist die Funktion überall positiv.

2. Nach der Kettenregel ist

   ${}{\begin{aligned}{\left(\ln \left(x^{2}+x+1\right)\right)}'&={\frac {2x+1}{x^{2}+x+1}}\\\end{aligned}}$

3. Da ${}{\frac {1}{x^{2}+x+1}}$ stets positiv ist, ist die Ableitung ${}{\frac {2x+1}{x^{2}+x+1}}$ für ${}x<-{\frac {1}{2}}$ negativ und für ${}x>-{\frac {1}{2}}$ positiv. Daher ist nach Fakt ${}\ln \left(x^{2}+x+1\right)$ für ${}x<-{\frac {1}{2}}$ streng fallend und für ${}x>-{\frac {1}{2}}$ streng wachsend und nimmt bei ${}x=-{\frac {1}{2}}$ ihr globales isoliertes Minimum mit dem Wert ${}\ln {\frac {3}{4}}$ an.
4. Die Gleichung ${}x^{2}+x+1=1$ führt auf ${}x=0$ oder ${}x=-1$, für ${}-1<x<0$ ist ${}x^{2}+x+1<1$ und somit ist auf dem offenen Intervall ${}]-1,0[$ die Funktion ${}\ln \left(x^{2}+x+1\right)$ negativ.

Zur gelösten Aufgabe