Logik/Modell/Maximal widerspruchsfrei/Beispiele/Fakt/Beweis
Beweis
Zunächst ist
aufgrund des
Korrektheitssatzes
abgeschlossen unter Ableitungen. Für jeden
-Ausdruck
gilt die Alternative: Entweder
oder
.
Insbesondere ist widerspruchsfrei. Wenn
ist, so ist
und daher ist widersprüchlich. Also ist maximal widerspruchsfrei.
Wir betrachten nun einen Ausdruck der Form
.
Wenn
gilt, so gilt in für jeden Term , da ja der Vordersatz nicht gilt. Wenn hingegen
gilt, so gibt es aufgrund des semantischen Aufbaus der Gültigkeitbeziehung ein
derart, dass gilt. Wegen der vorausgesetzten Surjektivität der Belegung gibt es einen Term , der durch interpretiert wird. Daher gilt
nach dem Substitutionslemma
in . Also gilt in .