Logik/Vollständigkeitssatz/Auffüllung mit einem Beispiel/Neue Termvariable/Widerspruchsfreiheit/Fakt/Beweis

Beweis

 Nehmen wir an, dass ${}\Gamma '=\Gamma \cup \{\exists x\alpha \rightarrow \alpha {\frac {z}{x}}\}$ widersprüchlich ist. Dann kann man aus ${}\Gamma '$ jeden Ausdruck ableiten. Es gilt also

$\Gamma '\vdash \psi$

und damit

$\Gamma \vdash {\left(\exists x\alpha \rightarrow \alpha {\frac {z}{x}}\right)}\rightarrow \psi$

für jeden Ausdruck ${}\psi$. Es gilt also insbesondere

$\Gamma \vdash \neg \exists x\alpha \rightarrow \psi$

und

$\Gamma \vdash \alpha {\frac {z}{x}}\rightarrow \psi .$

Wir nehmen nun zusätzlich an, dass ${}z$ in ${}\psi$ nicht vorkommt. Da ${}z$ überhaupt nicht in den anderen Ausdrücken vorkommt, können wir mittels Axiom (genauer wegen der in Aufgabe besprochenen Variante) auf

$\Gamma \vdash \exists x\alpha \rightarrow \psi .$

schließen. Damit ergibt sich mit der Fallunterscheidungsregel

$\Gamma \vdash \psi ,$

 im Widerspruch zur Widerspruchsfreiheit von ${}\Gamma$.

Zur bewiesenen Aussage