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Logistische Funktion/e^x durch 1+e^x/Ableitungen/Monotonie/Aufgabe/Lösung
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Logistische Funktion/e^x durch 1+e^x/Ableitungen/Monotonie/Aufgabe
Es ist
f
′
(
x
)
=
e
x
(
1
+
e
x
)
−
e
x
e
x
(
1
+
e
x
)
2
=
e
x
(
1
+
e
x
)
2
.
{\displaystyle {}f'(x)={\frac {e^{x}(1+e^{x})-e^{x}e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}}={\frac {e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}}\,.}
Es ist
f
′
′
(
x
)
=
(
e
x
(
1
+
e
x
)
2
)
′
=
e
x
(
1
+
e
x
)
2
−
2
e
x
(
1
+
e
x
)
e
x
(
1
+
e
x
)
4
=
e
x
(
1
+
e
x
)
−
2
e
x
e
x
(
1
+
e
x
)
3
=
e
x
−
e
2
x
(
1
+
e
x
)
3
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}f^{\prime \prime }(x)&={\left({\frac {e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}}\right)}'\\&={\frac {e^{x}(1+e^{x})^{2}-2e^{x}(1+e^{x})e^{x}}{(1+e^{x})^{4}}}\\&={\frac {e^{x}(1+e^{x})-2e^{x}e^{x}}{(1+e^{x})^{3}}}\\&={\frac {e^{x}-e^{2x}}{(1+e^{x})^{3}}}.\end{aligned}}}
Die erste Ableitung ist stets positiv, daher ist die Funktion streng monoton wachsend.
Als streng wachsende Funktion ist die Funktion auch injektiv.
Zur gelösten Aufgabe
