Lokal Faktorielles integres Schema/Invertierbare Untergarben/Weildivisoren/Fakt/Beweis

Beweis

Es gibt eine endliche offene affine Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ mit

${}{\mathcal {L}}=(f_{i}){\mathcal {O}}_{X}{|}_{U_{i}}\,$

mit ${}f_{i}\in K$, ${}f_{i}\neq 0$. Nach Fakt gibt es jeweils nur endlich viele irreduzible Weildivisoren in ${}U_{i}$ mit

${}\operatorname {ord} _{Y}(f_{i})\neq 0\,.$

Daher ist ${}D=\sum _{Y}\operatorname {ord} _{Y}({\mathcal {L}})Y$ in der Tat ein Weildivisor.

Es sei umgekehrt ${}D$ ein Weildivisor und ${}{\mathcal {L}}$ die zugehörige Untergarbe der konstanten Garbe zum Funktionenkörper. Es ist zu zeigen, dass diese invertierbar ist. Sei ${}x\in X$ ein Punkt und ${}x\in U\subseteq X$ eine affine offene Umgebung. Im lokalen Ring ${}{\mathcal {O}}_{X,x}$, der nach Voraussetzung faktoriell ist, ist nach Fakt der Divisor ${}D_{x}$, der aus allen irreduziblen Komponenten von ${}D$ besteht, die durch ${}x$ verlaufen, ein Hauptdivisor. Indem man die Komponenten von ${}D$, die nicht durch ${}x$ verlaufen, entfernt, kann man ${}U$ durch eine kleinere affine Umgebung ${}V$ von ${}x$ ersetzen, auf der der Divisor ein Hauptdivisor ist. Dort gilt also

${}D{|}_{V}=\operatorname {div} {\left(f\right)}{|}_{V}\,$

mit einem ${}f\in K$. Es ist dann

${}{\mathcal {L}}_{D}{|}_{V}=(f){\mathcal {O}}_{X}{|}_{V}\,.$

Wir müssen nun zeigen, dass diese Zuordnungen invers zueinander sind. Wir beginnen mit einer invertierbaren Untergarbe und übernehmen die Bezeichnungen von oben. Auf ${}U_{i}$ ist ${}D{|}_{U_{i}}=\operatorname {div} {\left(f_{i}\right)}{|}_{U_{i}}$. Daher gilt für ${}g\in K$ die Zugehörigkeit

${}g\in {\left\{f\in K\mid \operatorname {ord} _{Y}(f)\geq D{\text{ für alle }}Y\in U\right\}}\,$

genau dann, wenn auf ${}U$ für die Hauptdivisoren die Beziehung

${}\operatorname {div} {\left(g\right)}\geq \operatorname {div} {\left(f_{i}\right)}\,$

gilt, was wegen Fakt wiederum zu ${}g\in f\cdot \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ äquivalent ist.

Wenn man mit einem Weildivisor startet, so stimmt dieser lokal mit einem Hauptdivisor überein. Dann erzeugt ein Element des Funktionenkörpers, das diesen Hauptdivisor besitzt, lokal die zugehörige invertierbare Garbe, und dieses Element wird auch verwendet, um den zugehörigen Divisor auszurechnen.

Zur bewiesenen Aussage