Lokal Faktorielles integres Schema/Invertierbare Untergarben/Weildivisoren/Fakt

Es sei ${}X$ ein lokal faktorielles noethersches integres Schema.

Dann entsprechen sich die invertierbaren ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Untermoduln der konstanten Funktionenkörpergarbe ${}{\mathcal {K}}$ und die Weildivisoren über die Korrespondenz

${\mathcal {L}}\longmapsto \sum _{Y}\operatorname {ord} _{Y}({\mathcal {L}})$

und

$D=\sum _{Y}a_{Y}Y\longmapsto {\mathcal {L}}_{D}$

mit

${}{\mathcal {L}}_{D}(U)={\left\{f\in K\mid \operatorname {ord} _{Y}(f)\geq D{\text{ für alle }}Y\in U\right\}}\,$

für eine offene Teilmenge ${}U\subseteq X$.

Diese Zuordnungen sind mit den Gruppenstrukturen verträglich und dabei entsprechen sich triviale Untergarben und Hauptdivisoren. Invertierbare Ideale ${}{\mathcal {L}}\subseteq {\mathcal {O}}_{X}\subseteq {\mathcal {K}}$ entsprechen den effektiven Divisoren.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen