Lokal beringter Raum/Affines Schema/Morphismus/Fakt/Beweis

Beweis

Wegen Fakt muss

${}\varphi (x)={\left\{f\in R\mid x\notin X_{\theta (f)}\right\}}=(\rho _{x}\circ \theta )^{-1}{\left({\mathfrak {m}}_{x}\right)}\,$

für jeden Punkt ${}x\in X$ sein, wobei ${}\rho _{x}\colon \Gamma (X,{\mathcal {O}})\rightarrow {\mathcal {O}}_{X,x}$ den Restriktionshomomorphismus in den Halm ${}{\mathcal {O}}_{X,x}$ und ${}{\mathfrak {m}}_{x}\subseteq {\mathcal {O}}_{X,x}$ das maximale Ideal bezeichnet. Dadurch ist wiederum eine stetige Abbildung festgelegt, da sie ja

${}\varphi ^{-1}(D(f))=X_{\theta (f)}\,$

erfüllt, die ${}D(f)$ nach Fakt  (8) eine Basis bilden und da die ${}X_{\theta (f)}$ nach Fakt offen sind. Zu jedem ${}f\in R$ liegen die Ringhomomorphismen

$R{\stackrel {\theta }{\longrightarrow }}\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow \Gamma (X_{\theta (f)},{\mathcal {O}}_{X})$

vor, wobei ${}\theta (f)$ rechts zu einer Einheit wird. Nach Fakt gibt es daher einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

$R_{f}\longrightarrow \Gamma (X_{\theta (f)},{\mathcal {O}}_{X}),$

der mit diesem Ringhomomorphismus verträglich ist. Durch die Garbeneigenschaft ist daher auch ein eindeutig bestimmter Ringhomomorphismus

$\Gamma (D({\mathfrak {a}}),{\mathcal {O}}_{Y})\longrightarrow \Gamma (\varphi ^{-1}(D({\mathfrak {a}})),{\mathcal {O}}_{X})$

für jede offene Menge ${}D({\mathfrak {a}})$ festgelegt. Es gilt nämlich mit ${}D({\mathfrak {a}})=\bigcup _{i\in I}D(f_{i})$ die Beziehung

${}\Gamma (D({\mathfrak {a}}),{\mathcal {O}}_{Y})={\left\{(s_{i})_{i\in I}\in \prod _{i\in I}R_{f_{i}}\mid s_{i}=s_{j}{\text{ in }}R_{f_{i}f_{j}}\right\}}\,$

und

${}\Gamma (\varphi ^{-1}(D({\mathfrak {a}})),{\mathcal {O}}_{X})={\left\{(t_{i})_{i\in I}\in \prod _{i\in I}\Gamma (X_{\theta (f_{i})},{\mathcal {O}}_{X})\mid t_{i}=t_{j}{\text{ in }}\Gamma (X_{\theta (f_{i}f_{j})},{\mathcal {O}}_{X})\right\}}\,.$

Da wir rechts auf den ${}R_{f_{i}}$ bzw. ${}R_{f_{i}f_{j}}$ wohldefinierte Ringhomomorphismen haben, und da dabei die Gleichungen berücksichtigt werden, ergibt sich ein Ringhomomorphismus von oben nach unten. Diese Festlegungen liefern in der Tat einen Morphismus lokal beringter Räume.

Zur bewiesenen Aussage