Lokale Umkehrbarkeit/Eindimensional/Nicht auf ganz R/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2}.$

Diese Funktion ist stetig differenzierbar mit ${}f'(x)=2x$. Im Punkt ${}x=1$ gilt ${}f'(1)=2\neq 0$, so dass dort der Satz über die lokale Umkehrbarkeit anwendbar ist (und zwar liegt eine Bijektion ${}f\colon \mathbb {R} _{+}\rightarrow \mathbb {R} _{+}$ mit der Quadratwurzel als Umkehrfunktion vor).

Es gibt aber keine Umkehrfunktion auf ganz ${}\mathbb {R}$, da wegen ${}x^{2}=(-x)^{2}$ die Funktion nicht injektiv ist.

Zur gelösten Aufgabe