Lokaler Ring/Endliche freie Auflösung/Direkter Summand/Fakt/Beweis

Beweis

Wir führen Induktion über die projektive Dimension von . Wenn diese gleich ist, so bedeutet dies, dass frei ist. Doch dann sind und als direkte Summanden projektiv und somit nach Fakt selbst frei. Es sei die Aussage nun für endliche projektive Dimension bewiesen und habe die projektive Dimension . Es sei

surjektiv und minimal. Dabei kann man annehmen, dass dies von surjektiven Abbildungen und mit herrührt. Dann ist der Kern davon von der Form und man kann darauf die Induktionsvoraussetzung anwenden.