Lokaler Ring/Endliche freie Auflösung/Direkter Summand/Fakt/Beweis

Beweis

Wir führen Induktion über die projektive Dimension von ${}L$. Wenn diese gleich ${}0$ ist, so bedeutet dies, dass ${}L$ frei ist. Doch dann sind ${}M$ und ${}N$ als direkte Summanden projektiv und somit nach Fakt selbst frei. Es sei die Aussage nun für endliche projektive Dimension ${}e$ bewiesen und ${}M\oplus N$ habe die projektive Dimension ${}e+1$. Es sei

$R^{n}\longrightarrow M\oplus N$

surjektiv und minimal. Dabei kann man annehmen, dass dies von surjektiven Abbildungen ${}R^{n_{1}}\rightarrow M$ und ${}R^{n_{2}}\rightarrow N$ mit ${}n_{1}+n_{2}=n$ herrührt. Dann ist der Kern davon von der Form ${}M'\oplus N'$ und man kann darauf die Induktionsvoraussetzung anwenden.

Zur bewiesenen Aussage