Lokaler Ring/Hilbert-Samuel-Polynom/Grad und Dimension/Textabschnitt

Definition

Zu einem ${}R$-Modul ${}M$ versteht man unter der Krulldimension von ${}M$ die Krulldimension von ${}R/{\text{Ann}}_{R}M$.

Satz

Es sei ${}R$ ein noetherscher lokaler Ring und ${}M$ ein endlich erzeugter ${}R$-Modul.

Dann besteht zwischen der Dimension des Moduls und dem Grad des Hilbert-Samuel-Polynoms ${}P_{M}$ der Zusammenhang

${}\operatorname {dim} {\left(M\right)}=\operatorname {grad} \,(P_{M})+1\,.$