Lokaler Ring/Regulär/Homologische Charakterisierung/Fakt

Homologische Charakterisierung regulärer Ringe

Für einen lokalen noetherschen Ring ${}R$ sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}R$ ist regulär.
2. Jeder endliche ${}R$-Modul besitzt eine endliche projektive Dimension (und zwar ${}\leq \operatorname {dim} {\left(R\right)}$).
3. Der Restklassenkörper ${}R/{\mathfrak {m}}$ besitzt endliche projektive Dimension.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen