Lokaler noetherscher Ring/Maximales Ideal/Modul/Hilbert-Samuel-Funktion/Kumulativ/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten die kurze exakte Sequenz von ${}R$-Homomorphismen

$0\longrightarrow {\mathfrak {m}}^{n}M/{\mathfrak {m}}^{n+1}M\longrightarrow M/{\mathfrak {m}}^{n+1}M\longrightarrow M/{\mathfrak {m}}^{n}M\longrightarrow 0$

von ${}R$-Moduln endlicher Länge. Dabei gilt nach Fakt

$\ell {\left(M/{\mathfrak {m}}^{n+1}M\right)}-\ell {\left(M/{\mathfrak {m}}^{n}M\right)}=\ell {\left({\mathfrak {m}}^{n}M/{\mathfrak {m}}^{n+1}M\right)}=\dim _{R/{\mathfrak {m}}}{\left({\mathfrak {m}}^{n}M/{\mathfrak {m}}^{n+1}M\right)}=H(n)\,.$

Somit ist

${}\ell {\left(M/{\mathfrak {m}}^{n}M\right)}=\sum _{i<n}H(i)\,$

und das ist die Definition der kumulativen Hilbertfunktion.

Zur bewiesenen Aussage