Lokaler noetherscher Ring/Maximales Ideal/Modul/Hilbert-Samuel-Funktion/Kumulativ/Fakt

Es sei ${}R$ ein noetherscher lokaler Ring und ${}M$ ein endlich erzeugter ${}R$-Modul.

Dann ist

${}{\tilde {H}}_{\operatorname {Gr} _{\mathfrak {m}}M}(n)=\ell {\left(M/{\mathfrak {m}}^{n}M\right)}\,,$

d.h. die kumulative Hilbertfunktion des assoziierten graduierten Moduls misst die Länge von ${}M/{\mathfrak {m}}^{n}M$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen