Lokaler regulärer Ring/Parameter/Regularität/Fakt/Beweis

Beweis

Wir beweisen zuerst die Äquivalenz zwischen (1) und (2). Der Restklassenmodul ist ein -Vektorraum, der nach dem Lemma von Nakayama die Dimension besitzt. Wenn

ist, so bilden die Restklassen eine Basis von und jedes Teilsystem davon ist linear unabhängig. Wenn umgekehrt die Restklasen von in linear unabhängig sind, so lassen diese sich nach dem Basisergänzungssatz durch zu einer Basis von ergänzen. Diese Elemente werden wiederum durch Elemente repräsentiert, und nach dem Lemma von Nakayama gilt

Wir beweisen nun die Äquivalenz zwischen (1) und (3). Wir setzen

Es sei zunächst wieder durch eine Ergänzung zu einem vollen Erzeugendensystem von gegeben. Dann sind die Restklassen von in ein Erzeugendensystem des maximalen Ideals

von . Damit ist die Einbettungsdimension von gleich und somit ist nach Fakt die Dimension von höchstens . Andererseits ist die Dimension aber auch zumindest nach Fakt. Wäre nämlich die Dimension von gleich

so würde es Parameter

geben, und diese würden zusammen mit den in das maximale Ideal als Radikal beschreiben, was nach Fakt nicht sein kann.

Wenn umgekehrt regulär der Dimension ist, so sei

Diese werden durch repräsentiert und die erzeugen .