Lokaler regulärer Ring/Parameter/Regularität/Fakt/Beweis

Beweis

Wir beweisen zuerst die Äquivalenz zwischen (1) und (2). Der Restklassenmodul ${}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$ ist ein ${}R/{\mathfrak {m}}$-Vektorraum, der nach dem Lemma von Nakayama die Dimension ${}d$ besitzt. Wenn

${}(f_{1},\ldots ,f_{n},f_{n+1},\ldots ,f_{d})={\mathfrak {m}}\,$

ist, so bilden die Restklassen eine Basis von ${}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$ und jedes Teilsystem davon ist linear unabhängig. Wenn umgekehrt die Restklasen von ${}f_{1},\ldots ,f_{n}$ in ${}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$ linear unabhängig sind, so lassen diese sich nach dem Basisergänzungssatz durch ${}g_{n+1},\ldots ,g_{d}\in {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$ zu einer Basis von ${}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$ ergänzen. Diese Elemente werden wiederum durch Elemente ${}f_{n+1},\ldots ,f_{d}\in {\mathfrak {m}}$ repräsentiert, und nach dem Lemma von Nakayama gilt

${}(f_{1},\ldots ,f_{n},f_{n+1},\ldots ,f_{d})={\mathfrak {m}}\,.$

Wir beweisen nun die Äquivalenz zwischen (1) und (3). Wir setzen

${}{\mathfrak {a}}:=(f_{1},\ldots ,f_{n})\,.$

Es sei zunächst wieder durch ${}f_{n+1},\ldots ,f_{d}$ eine Ergänzung zu einem vollen Erzeugendensystem von ${}{\mathfrak {m}}$ gegeben. Dann sind die Restklassen von ${}f_{n+1},\ldots ,f_{d}$ in ${}R/{\mathfrak {a}}$ ein Erzeugendensystem des maximalen Ideals

${}{\mathfrak {n}}={\mathfrak {m}}/{\mathfrak {a}}\,$

von ${}R/{\mathfrak {a}}$. Damit ist die Einbettungsdimension von ${}R/{\mathfrak {a}}$ gleich ${}d-n$ und somit ist nach Fakt die Dimension von ${}R/{\mathfrak {a}}$ höchstens ${}d-n$. Andererseits ist die Dimension aber auch zumindest ${}d-n$ nach Fakt. Wäre nämlich die Dimension von ${}R/{\mathfrak {a}}$ gleich

${}m<d-n\,,$

so würde es Parameter

${}g_{1},\ldots ,g_{m}\in R/{\mathfrak {a}}\,$

geben, und diese würden zusammen mit den ${}f_{1},\ldots ,f_{n}$ in ${}R$ das maximale Ideal als Radikal beschreiben, was nach Fakt nicht sein kann.

Wenn umgekehrt ${}R/{\mathfrak {a}}$ regulär der Dimension ${}d-n$ ist, so sei

${}{\mathfrak {n}}=(g_{n+1},\ldots ,g_{d})\,.$

Diese ${}g_{i}$ werden durch ${}f_{n+1},\ldots ,f_{d}\in {\mathfrak {m}}$ repräsentiert und die ${}f_{1},\ldots ,f_{n}$ erzeugen ${}{\mathfrak {m}}$.

Zur bewiesenen Aussage