Mäuse und Löcher/Allrelation/Aufgabe

Es sei ${}M$ die Menge der Mäuse und ${}L$ die Menge der Löcher auf einem Feld. Es wird beobachtet, dass jede Maus gewisse Löcher benutzt, andere dagegen vermeidet. Zu einer Teilmenge an Löchern ${}S\subseteq L$ definieren wir

${}S^{\perp }={\left\{m\in M\mid m{\text{ benutzt alle Löcher aus }}S\right\}}\,,$

und zu einer Teilmenge an Mäusen ${}T\subseteq M$ definieren wir

${}T^{\perp }={\left\{\ell \in L\mid \ell {\text{ wird von jeder Maus aus }}T{\text{ benutzt}}\right\}}\,.$

1. Beschreibe zu einem Loch ${}\ell \in L$ die Menge ${}\{\ell \}^{\perp }$ mit einem Satz.
2. Beschreibe die Menge ${}L^{\perp }$ mit einem Satz.
3. Beschreibe die Menge ${}M^{\perp }$ mit einem Satz.
4. Zeige: Zu Teilmengen ${}S_{1}\subseteq S_{2}$ (in ${}L$) ist

   ${}{\left(S_{1}\right)}^{\perp }\supseteq {\left(S_{2}\right)}^{\perp }\,.$

5. Zeige: Für eine beliebige Teilmenge ${}S\subseteq L$ ist

   ${}S\subseteq {\left(S^{\perp }\right)}^{\perp }\,.$

6. Zeige: Für eine Vereinigung

   ${}S=S_{1}\cup S_{2}\subseteq L\,$

   ist

   ${}{\left(S_{1}\cup S_{2}\right)}^{\perp }={\left(S_{1}\right)}^{\perp }\cap {\left(S_{2}\right)}^{\perp }\,.$

7. Gilt für einen Durchschnitt

   ${}S=S_{1}\cap S_{2}\subseteq L\,.$

   die Beziehung

   ${}{\left(S_{1}\cap S_{2}\right)}^{\perp }={\left(S_{1}\right)}^{\perp }\cup {\left(S_{2}\right)}^{\perp }\,?$

8. Gilt für eine beliebige Teilmenge ${}S\subseteq L$ die Beziehung

   ${}S^{\perp }={\left({\left(S^{\perp }\right)}^{\perp }\right)}^{\perp }\,?$

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