Mäuse und Löcher/Allrelation/Aufgabe/Lösung

1. Das ist die Menge aller Mäuse, die dieses Loch benutzen.
2. Das ist die Menge derjenigen Mäuse, die jedes Loch benutzen.
3. Das ist die Menge derjenigen Löcher, die von allen Mäusen benutzt werden.
4. Es sei ${}m\in {\left(S_{2}\right)}^{\perp }$. Dies bedeutet, dass ${}m$ alle Löcher aus ${}S_{2}$ benutzt. Dann benutzt ${}m$ erst recht alle Löcher aus der Teilmenge ${}S_{1}$, also gilt ${}m\in {\left(S_{1}\right)}^{\perp }$.
5. Es sei ${}\ell \in S$. Die Menge ${}S^{\perp }$ besteht aus allen Mäusen, die alle Löcher aus ${}S$ benutzen. Diese Mäusemenge benutzt insbesondere ${}\ell$, daher ist ${}\ell \in {\left(S^{\perp }\right)}^{\perp }$.
6. Wegen ${}S_{1}\subseteq S_{1}\cup S_{2}$ gilt nach Teil (4)

   ${}{\left(S_{1}\cup S_{2}\right)}^{\perp }=S_{1}^{\perp }\,$

   und entsprechend für ${}S_{2}$. Dies ergibt die Inklusion ${}{\left(S_{1}\cup S_{2}\right)}^{\perp }\subseteq S_{1}^{\perp }\cap S_{1}^{\perp }$. Es sei nun ${}m=S_{1}^{\perp }\cap S_{1}^{\perp }$. Dies bedeutet, dass ${}m$ alle Löcher aus ${}S_{1}$ und alle Löcher aus ${}S_{2}$ benutzt. Also benutzt ${}m$ alle Löcher aus ${}S_{1}\cup S_{2}$, also ${}m\in {\left(S_{1}\cup S_{2}\right)}^{\perp }$.

7. Dies muss nicht gelten. Es kann beispielsweise ${}L$ disjunkt zerlegt in ${}S_{1}$ und ${}S_{2}$ sein. Dann ist ${}S_{1}\cap S_{2}=\emptyset$ und ${}\emptyset ^{\perp }=M$. Es kann aber gleichzeitig sein, dass es sowohl in ${}S_{1}$ als auch in ${}S_{2}$ jeweils ein Loch gibt, das von keiner Mausbenutzt wird. Dann ist

   ${}{\left(S_{1}\right)}^{\perp }=\emptyset ={\left(S_{2}\right)}^{\perp }\,.$

8. Das gilt. Nach (4) ist ${}S\subseteq {\left(S^{\perp }\right)}^{\perp }$, woraus mit (5) die Inklusion

   ${}{\left({\left(S^{\perp }\right)}^{\perp }\right)}^{\perp }\subseteq S^{\perp }\,.$

   Die zu (4) analoge Eingenschaft gilt auch für Teilmengen ${}T\subseteq M$. Angewendet auf ${}T=S^{\perp }$, ergibt sich

   ${}S^{\perp }\subseteq {\left({\left(S^{\perp }\right)}^{\perp }\right)}^{\perp }\,.$

Zur gelösten Aufgabe