Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Definitionsabfrage/Test 2/Aufgabe/Lösung

1. Ein Teilmengensystem ${}{\mathcal {A}}$ auf ${}M$ heißt ${}\sigma$-Algebra, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
   1. Es ist ${}M\in {\mathcal {A}}$.
   2. Mit ${}T\in {\mathcal {A}}$ gehört auch das Komplement ${}M\setminus T$ zu ${}{\mathcal {A}}$.
   3. Für jede abzählbare Familie ${}T_{i}\in {\mathcal {A}}$, ${}i\in I$, ist auch

      $\bigcup _{i\in I}T_{i}\in {\mathcal {A}}.$

2. Die Abbildung ${}\varphi$ heißt messbar, wenn für jede messbare Menge ${}T\subseteq N$ das Urbild ${}\varphi ^{-1}(T)$ messbar ist.
3. Es sei ${}(M,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum. Dann nennt man die von ${}{\mathcal {T}}$ erzeugte ${}\sigma$-Algebra die Menge der Borel-Mengen von ${}M$.
4. Eine Schrumpfung von ${}T$ ist eine Folge von Teilmengen ${}T_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, in ${}M$ mit ${}T_{n}\supseteq T_{n+1}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ und mit ${}T=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }T_{n}$.
5. Man nennt

   ${}P={\left\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{n}v_{n}\mid a_{i}\in [0,1]\right\}}\,$

   das von den ${}v_{i}$ erzeugte Parallelotop.

6. Der Kegel zur Basis ${}B$ mit der Spitze ${}P$ ist definiert durch

   ${}K_{B}={\left\{P+t(Q-P)\mid Q\in B,\,t\in [0,1]\right\}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe