Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe/Lösung

1. Das Borel-Lebesgue-Maß ${}\lambda ^{n}$ ist das einzige translationsinvariante Maß auf ${}(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}^{n})$, das auf dem Einheitswürfel den Wert ${}1$ besitzt.
2. Es sei

   $L\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

   eine lineare Abbildung. Dann gilt für jede messbare Menge ${}S\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ die Beziehung

   ${}\lambda ^{n}(L(S))=\vert {\det L}\vert \cdot \lambda ^{n}(S)\,.$

3. Es sei ${}p\geq 1$ eine reelle Zahl und es sei ${}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum. Es seien

   $f,g\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$

   ${}p$-integrierbare Funktionen.

   Dann gilt

   ${}\Vert {f+g}\Vert _{p}\leq \Vert {f}\Vert _{p}+\Vert {g}\Vert _{p}\,.$

Zur gelösten Aufgabe