Maßraum/Höldersche Ungleichung/Fakt

Höldersche Ungleichung

Es seien ${}p,q\geq 1$ reelle Zahlen mit

${}{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1\,$

und es sei ${}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum. Es seien

$f,g\colon X\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

messbare Funktionen, die ${}p$- bzw. ${}q$-integrierbar seien.

Dann gilt

${}\int _{X}fgd\mu =\Vert {fg}\Vert _{1}\leq \Vert {f}\Vert _{p}\cdot \Vert {g}\Vert _{q}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen