Maßraum/Höldersche Ungleichung/Fakt/Beweis

Beweis

Bei ${}\Vert {f}\Vert _{p}=0$ ist die Aussage nach Fakt klar, wir können also von ${}\Vert {f}\Vert _{p},\Vert {g}\Vert _{p}>0$ ausgehen. Zu ${}x\in X$ wenden wir auf ${}A={\frac {\vert {f(x)}\vert }{\Vert {f}\Vert _{p}}}$ und ${}B={\frac {\vert {g(x)}\vert }{\Vert {g}\Vert _{q}}}$ die Abschätzung

${}AB\leq {\frac {A^{p}}{p}}+{\frac {B^{q}}{q}}\,$

(siehe Aufgabe) an und erhalten

${}{\begin{aligned}{\frac {1}{\Vert {f}\Vert _{p}\cdot \Vert {g}\Vert _{q}}}\int _{X}\vert {fg}\vert d\mu &=\int _{X}{\frac {\vert {f}\vert }{\Vert {f}\Vert _{p}}}\cdot {\frac {\vert {g}\vert }{\Vert {g}\Vert _{q}}}d\mu \\&\leq \int _{X}{\frac {\vert {f}\vert ^{p}}{p\Vert {f}\Vert _{p}^{p}}}+{\frac {\vert {g}\vert ^{q}}{q\Vert {g}\Vert _{q}^{q}}}d\mu \\&={\frac {1}{p\Vert {f}\Vert _{p}^{p}}}\int _{X}\vert {f}\vert ^{p}d\mu +{\frac {1}{q\Vert {g}\Vert _{q}^{q}}}\int _{X}\vert {g}\vert ^{q}d\mu \\&={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}\\&=1.\end{aligned}}$

Multiplikation mit dem Vorfaktor ergibt die Behauptung.

Zur bewiesenen Aussage