Für jedes
ist
-

Wenn z.B.
ein Maßraum ist mit
und die Familie durch
-
gegeben ist, so besitzt die Funktion
eine Sprungstelle in
und ist daher nicht stetig.
Die Bedingung (1) ist erfüllt. Für festes
geht es um die Abbildung
-
Da
nach Voraussetzung messbar ist, ist diese Abbildung messbar.
Die Bedingung (3) ist erfüllt, und zwar mit der konstanten Funktion
. Es ist
aufgrund der vorausgesetzten Endlichkeit des Maßraumes
, und es ist
für jede Indikatorfunktion.
Da die Schlussfolgerung des Satzes nicht gilt, kann die Bedingung (2) nicht generell erfüllt sein.