Maßraum/Integrierbare Funktionen/Supremumsnorm/L^1-Norm/Nicht stetig/Aufgabe

Zeige, dass für einen ${}\sigma$ -endlichen Maßraum die Identität auf dem reellen Vektorraum ${}V$ aller beschränkten integrierbaren Funktionen im Allgemeinen nicht stetig ist, wenn man den Ausgangsraum mit der Supremumsnorm und den Zielraum mit der ${}L^{1}$ -Halbnorm

versieht. Zeige ebenso, dass die Identität bei vertauschten Rollen der Normen ebenfalls nicht stetig sein muss.