Maßtheorie und Mannigfaltigkeiten/Gemischte Definitionsabfrage/2/Explizit/Aufgabe/Lösung

1. Eine Menge ${}M$ heißt abzählbar, wenn sie leer ist oder wenn es eine surjektive Abbildung

   $\varphi \colon \mathbb {N} \longrightarrow M$

   gibt.

2. Ein Teilmengensystem ${}{\mathcal {A}}$ auf einer Menge ${}M$ heißt ${}\sigma$-Algebra, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.

   1. Es ist ${}M\in {\mathcal {A}}$.
   2. Mit ${}T\in {\mathcal {A}}$ gehört auch das Komplement ${}M\setminus T$ zu ${}{\mathcal {A}}$.
   3. Für jede abzählbare Familie ${}T_{i}\in {\mathcal {A}}$, ${}i\in I$, ist auch

      ${}\bigcup _{i\in I}T_{i}\in {\mathcal {A}}\,.$

3. Unter dem Kegel versteht man die Menge

   ${}K_{B}={\left\{P+t(Q-P)\mid Q\in B,\,t\in [0,1]\right\}}\,.$

4. Ein topologischer Raum ${}X$ heißt zusammenhängend, wenn es in ${}X$ genau zwei Teilmengen gibt (nämlich ${}\emptyset$ und der Gesamtraum $X\neq \emptyset$), die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.

5. Unter der Tangentialabbildung im Punkt ${}P$ versteht man die Abbildung

   $T_{P}M\longrightarrow T_{\varphi (P)}N,\,[\gamma ]\longmapsto [\varphi \circ \gamma ].$

6. Das Wegintegral ist durch

   ${}\int _{\gamma }\omega =\int _{a}^{b}\gamma ^{*}\omega \,$

   definiert.

7. Eine differenzierbare Differentialform ${}\omega$ auf ${}M$ heißt geschlossen, wenn ihre äußere Ableitung ${}d\omega =0$ ist.
8. Ein topologischer Hausdorff-Raum ${}M$ heißt eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand, wenn es eine offene Überdeckung ${}M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Karten

   $\alpha _{i}\colon U_{i}\longrightarrow V_{i}$

   gibt, wobei die ${}V_{i}\subseteq H\subset \mathbb {R} ^{n}$ offene Mengen im euklidischen Halbraum und die Übergangsabbildungen

   $\alpha _{j}\circ \alpha _{i}^{-1}\colon V_{i}\cap \alpha _{i}(U_{i}\cap U_{j})\longrightarrow V_{j}\cap \alpha _{j}(U_{i}\cap U_{j})$

   Diffeomorphismen sind.

Zur gelösten Aufgabe