Mannigfaltigkeit/Pfaffsche Differentialform zu Funktion/Beschreibung mit partiellen Ableitungen/Fakt/Beweis

Beweis

Wir können sofort annehmen, dass sich alles auf der offenen Menge ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ abspielt. Für jeden Punkt ${}Q\in V$ gilt die folgende Gleichheit von Linearformen auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$,

${}{\begin{aligned}(df)_{Q}&=\left(Df\right)_{Q}\\&=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(Q),\,\ldots ,\,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(Q)\right)\\&={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(Q)dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(Q)dx_{n}.\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage