Mannigfaltigkeit/Pfaffsche Differentialform zu Funktion/Beschreibung mit partiellen Ableitungen/Fakt

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}U\subseteq M$ eine offene Teilmenge mit einer Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

und ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen. Es seien

$x_{j}\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

die zugehörigen Koordinatenfunktionen, ${}1\leq j\leq n$. Es sei

$f\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

eine differenzierbare Funktion.

Dann gilt für die zugehörige ${}1$-Differentialform ${}df$ die Darstellung

${}df=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}dx_{j}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen