Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Linearer Zusammenhang/Horizontale Schnitte/Untervektorraum/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien ${}s_{1},\ldots ,s_{r}$ linear unabhängige horizontale Schnitte auf ${}U$. Es sei ${}s$ ein weiterer differenzierbarer horizontaler Schnitt. Man kann ${}s$ wegen Aufgabe (angewendet auf ${}U$) eindeutig als ${}s=\sum _{i=1}^{r}g_{i}s_{i}$ mit Funktionen

$g_{i}\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

schreiben. Somit ist nach Fakt

${}0=\nabla s=\nabla {\left(\sum _{i=1}^{r}g_{i}s_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{r}\nabla {\left(g_{i}s_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{r}s_{i}\otimes dg_{i}\,.$

Auf jeder kleineren offenen Menge, die zu ${}U'\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ diffeomorph ist, kann man dies unter Verwendung von Koordinaten ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ als

${}\sum _{i=1}^{r}s_{i}\otimes {\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial g_{i}}{\partial x_{j}}}dx_{j}\right)}=\sum _{i=1}^{r}\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial g_{i}}{\partial x_{j}}}{\left(s_{i}\otimes dx_{j}\right)}\,$

schreiben. Die ${}s_{i}\otimes dx_{j}$ bilden (über dieser offenen Menge) Basisschnitte von ${}E{|}_{U'}\otimes T^{*}U'$ und daher muss ${}{\frac {\partial g_{i}}{\partial x_{j}}}=0$ sein. Also sind die ${}g_{i}$ konstant (dies gilt wegen zusammenhängend auch auf ${}U$) und somit ist ${}s$ eine ${}\mathbb {R}$-Linearkombination der ${}s_{i}$.

Zur bewiesenen Aussage