Mannigfaltigkeit/Vektorfelder/Lie-Klammer/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

(1) folgt aus der Definition, (2) folgt aus der Beziehung

{}D_{V_{1}+V_{2}}=D_{V_{1}}+D_{V_{2}}\,

zwischen Differentialoperatoren und Vektorfeldern. (3). Da die Aussage lokal ist, können wir

{}V=\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}\,

und ${}W=\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}$ ansetzen. Dann ist

{}fV=f\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}=\sum _{i=1}^{n}ff_{i}\partial _{i}\,

und nach Fakt ist

{}{\begin{aligned}\,[fV,W]&=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\left(ff_{i}\partial _{i}g_{j}-g_{i}\partial _{i}(ff_{j})\right)}\right)}\partial _{j}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\left(ff_{i}\partial _{i}g_{j}-g_{i}{\left(f\partial _{i}(f_{j})+f_{j}\partial _{i}(f)\right)}\right)}\right)}\partial _{j}\\&=f\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\left(f_{i}\partial _{i}g_{j}-g_{i}\partial _{i}(f_{j})\right)}\right)}\partial _{j}-\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}g_{i}f_{j}\partial _{i}(f)\right)}\partial _{j}\\&=f[V,W]-\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}g_{i}\partial _{i}(f)\right)}f_{j}\partial _{j}\\&=f[V,W]-{\left(\sum _{i=1}^{n}g_{i}\partial _{i}(f)\right)}{\left(\sum _{j=1}^{n}f_{j}\partial _{j}\right)}\\&=f[V,W]-D_{W}(f)V.\end{aligned}}