Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe/Lösung

1. Es seien ${}a,b$ Elemente in einem Körper. Ferner sei ${}n$ eine natürliche Zahl.

   Dann gilt

   $(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}.$

2. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.

   Dann gilt für Matrizen ${}A,B\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ die Beziehung

   ${}\det \left(A\circ B\right)=\det A\cdot \det B\,.$

3. Es sei

   $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

   eine Reihe von reellen Zahlen. Es gebe eine reelle Zahl ${}q$ mit ${}0\leq q<1$ und ein ${}k_{0}$

   ${}\vert {\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\vert \leq q\,$

   für alle ${}k\geq k_{0}$(insbesondere sei ${}a_{k}\neq 0$ für ${}k\geq k_{0}$).

   Dann konvergiert die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ absolut.

4. Die Stetigkeit von ${}f$ im Punkt ${}a$ ist äquivalent dazu, dass für jede Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, die gegen ${}a$ konvergiert, die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}f(a)$ konvergiert.

Zur gelösten Aufgabe