Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe/Lösung

1. Zu zwei Vektoren ${}v,w\in V$ nennt man

   ${}d{\left(v,w\right)}:=\Vert {v-w}\Vert :={\sqrt {\left\langle v-w,v-w\right\rangle }}\,$

   den Abstand zwischen ${}v$ und ${}w$.

2. Man sagt, dass die Folge konvergiert, wenn es ein ${}x\in M$ gibt, das folgende Eigenschaft erfüllt: Zu jedem ${}\epsilon \in \mathbb {R}$, ${}\epsilon >0$, gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Beziehung

   $d{\left(x_{n},x\right)}\leq \epsilon$

   gilt.

3. Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, ${}U\subseteq V$ eine offene Menge und

   $f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

   ein Vektorfeld auf ${}U$. Es sei ${}(t_{0},w)\in I\times U$ gegeben. Dann nennt man

   $v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w$

   das Anfangswertproblem zur gewöhnlichen Differentialgleichung ${}v'=f(t,v)$ mit der Anfangsbedingung ${}v(t_{0})=w$.

4. Ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten ist eine Differentialgleichung der Form

   ${}v'=Mv\,,$

   wobei

   ${}M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}\,$

   eine Matrix mit Einträgen ${}a_{ij}\in {\mathbb {C} }$ ist.

5. Zur differenzierbaren Funktion

   $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

   heißt ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$ ein kritischer Punkt, wenn

   ${}\left(Df\right)_{P}=0\,$

   ist.

6. Der Schwerpunkt von ${}T$ ist der Punkt ${}\left(s_{1},\,\ldots ,\,s_{n}\right)$ mit den Koordinaten

   ${}s_{i}={\frac {\int _{T}x_{i}fd\lambda ^{n}}{\int _{T}fd\lambda ^{n}}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe