Es sei ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum,
ein
reelles Intervall,
eine
offene Menge
und
-
ein
Vektorfeld
auf . Dann nennt man
-
die gewöhnliche Differentialgleichung
(oder gewöhnliches Differentialgleichungssystem)
zum
Vektorfeld
.
(Zeitabhängige)
Vektorfelder und gewöhnliche Differentialgleichungssysteme sind im Wesentlichen äquivalente Objekte. Man spricht auch von einem dynamischen System. Von Differentialgleichungen spricht man insbesondere dann, wenn man sich für die Lösungen im Sinne der folgenden Definition interessiert.
Es sei ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum,
ein
reelles Intervall,
eine
offene Menge
und
-
ein
Vektorfeld
auf . Zur
gewöhnlichen Differentialgleichung
-
heißt eine
Abbildung
-
auf einem
offenen (Teil)Intervall
eine Lösung der Differentialgleichung, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.
- Es ist
für alle
.
- Die Abbildung ist
differenzierbar.
- Es ist
für alle
.
Eine Lösung ist also eine
differenzierbare Kurve,
d.h. eine
(orts-)vektorwertige Abbildung
-
Wenn
ist, so wird eine solche Abbildung durch ihre Komponenten
-
beschrieben. Ebenso wird das Vektorfeld durch , von
und
abhängige Funktionen beschrieben. Die Differentialgleichung lautet dann ausgeschrieben
-
Daher spricht man auch von einem Differentialgleichungssystem.
Häufig soll eine Kurve nicht nur eine Differentialgleichung erfüllen, sondern sich zusätzlich zu einem bestimmten Zeitpunkt an einem bestimmten Ort befinden. Dies führt zum Begriff des Anfangswertproblems.
Es sei ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum,
ein
reelles Intervall,
eine
offene Menge
und
-
ein
Vektorfeld
auf . Es sei
gegeben. Dann nennt man
-
das Anfangswertproblem zur
gewöhnlichen Differentialgleichung
mit der Anfangsbedingung
.
Es sei ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum,
ein
reelles Intervall,
eine
offene Menge
und
-
ein
Vektorfeld
auf . Es sei
vorgegeben. Dann nennt man eine
Abbildung
-
auf einem
Intervall
mit
eine Lösung des Anfangswertproblems
-
wenn eine
Lösung der Differentialgleichung
ist und wenn zusätzlich
-
gilt.