Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/17/Aufgabe/Lösung

1. Die Menge ${}\Gamma$ heißt maximal widerspruchsfrei, wenn sie widerspruchsfrei ist und wenn jede Hinzunahme eines jeden Ausdrucks ${}\alpha \not \in \Gamma$ die Menge widersprüchlich macht.
2. Ein System ${}F$ aus offenen Teilmengen von ${}X$ heißt Filter, wenn folgende Eigenschaften gelten ($U,V$ seien offen).
   1. ${}X\in F$.
   2. Mit ${}U\in F$ und ${}U\subseteq V$ ist auch ${}V\in F$.
   3. Mit ${}U\in F$ und ${}V\in F$ ist auch ${}U\cap V\in F$.
3. Die Terminterpretation ${}I(t)\in M$ wird induktiv über den Aufbau der Terme für jeden ${}S$-Term ${}t$ definiert.
   1. Für jede Konstante ${}c$ und jede Variable ${}x$ ist die Terminterpretation durch die Interpretation bzw. die Belegung direkt gegeben, also ${}I(c)=c^{M}$ und ${}I(x)=x^{M}$.
   2. Wenn ${}t_{1},\ldots ,t_{n}$ Terme mit Interpretationen ${}I(t_{1}),\ldots ,I(t_{n})$ sind und wenn ${}f$ ein ${}n$-stelliges Funktionssymbol ist, so wird der Term ${}ft_{1}\ldots t_{n}$ als ${}f^{M}(I(t_{1}),\ldots ,I(t_{n}))$ interpretiert.
4. Die Teilmenge ${}T$ heißt funktional abgeschlossen, wenn für jede Konstante ${}c\in S$ das Element ${}c^{M}$ zu ${}T$ gehört und für jedes ${}k$-stellige Funktionssymbol ${}f$ und beliebige Elemente ${}m_{1},\ldots ,m_{k}\in T$ auch ${}f^{M}(m_{1},\ldots ,m_{k})$ zu ${}T$ gehört.
5. Die Theorie ${}T$ heißt vollständig, wenn für jeden Satz ${}\alpha \in L_{0}^{S}$ gilt ${}\alpha \in T$ oder ${}\neg \alpha \in T$.
6. Unter einem modallogischen Modell versteht man einen gerichteten Graphen ${}(M,R)$ zusammen mit einer Wahrheitsbelegung ${}\mu$ für die Aussagenvariablen für jeden Knotenpunkt ${}w\in M$.

Zur gelösten Aufgabe