Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe/Lösung

1. Die Termmenge ist diejenige Teilmenge ${}T=T(G)$ der Wörter ${}A^{*}$ über dem Termalphabet ${}A=V\cup K\cup \bigcup _{n\in \mathbb {N} _{+}}F_{n}$, die durch die folgenden rekursiven Vorschriften festgelegt wird.
   1. Jede Variable ${}v\in V$ ist ein Term.
   2. Jede Konstante ${}c\in K$ ist ein Term.
   3. Für jedes ${}f\in F_{n}$ und ${}n$ Terme ${}t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}$ ist auch ${}ft_{1}t_{2}\ldots t_{n}$ ein Term.
2. Die Menge ${}\Gamma$ heißt maximal widerspruchsfrei, wenn sie widerspruchsfrei ist und wenn jede Hinzunahme eines jeden Ausdrucks ${}\alpha \not \in \Gamma$ die Menge widersprüchlich macht.
3. Die Multiplikation mit ${}n$ ist diejenige aufgrund von Fakt eindeutig bestimmte Abbildung

   $\mu _{n}\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,k\longmapsto \mu _{n}(k),$

   für die

   $\mu _{n}(0)=0{\text{ und }}\mu _{n}(k')=\mu _{n}(k)+n{\text{ für alle }}k\in \mathbb {N}$

   gilt.

4. Die Befehle für eine Registermaschine sind (dabei bezeichnen ${}R_{i}$ Register und ${}B_{j}$ Befehlszeilen).
   1. ${}i+$ (erhöhe den Inhalt des Registers ${}R_{i}$ um ${}1$, d.h. um einen Strich).
   2. ${}i-$ (reduziere den Inhalt des Registers ${}R_{i}$ um ${}1$, d.h. ziehe einen Strich ab; wenn der Inhalt leer ist, so lasse ihn leer).
   3. ${}C(ij)$ (wenn das ${}i$-te Register leer ist, so gehe zum Befehl ${}B_{j}$, andernfalls zum nächsten Befehl).
   4. Drucke (drucke den Inhalt des ersten Registers).
   5. Halte an.
5. Das modallogische Axiomenschema

   $\Box (\Box \alpha \rightarrow \alpha )\rightarrow \Box \alpha$

   nennt man Löb-Axiom.

6. Unter einem modallogischen Modell versteht man einen gerichteten Graphen ${}(M,R)$ zusammen mit einer Wahrheitsbelegung ${}\mu$ für die Aussagenvariablen für jeden Knotenpunkt ${}w\in M$.

Zur gelösten Aufgabe