Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/9/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}M$ ein Peano-Halbring und ${}d\geq 1$. Dann gibt es zu jedem ${}m\in M$ eindeutig bestimmte ${}q,r\in M$ mit ${}r$, ${}r<d$, und mit

   ${}m=qd+r\,.$

2. Es sei ${}S$ ein Symbolalphabet, ${}\Gamma$ eine Menge an ${}S$-Ausdrücken und ${}\alpha$ ein weiterer ${}S$-Ausdruck. Dann gilt ${}\Gamma \vDash \alpha$ genau dann, wenn ${}\Gamma \vdash \alpha$ gilt.
3. Es sei ${}\Gamma \subseteq L^{\rm {Ar}}$ eine arithmetische Ausdrucksmenge, die widerspruchsfrei und aufzählbar sei und Repräsentierungen erlaube. Dann ist ${}\Gamma ^{\vdash }$ unvollständig.

Zur gelösten Aufgabe