Matrix/2/Linksinvers/Rechtsinvers/Aufgabe/Lösung

Die Bedingung

${}{\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,$

bedeutet ausgeschrieben

${}xa+yc=1\,,$

${}xb+yd=0\,,$

${}za+wc=0\,,$

${}zb+wd=1\,.$

Wegen der ersten und der vierten Gleichung sind ${}(a,c)\neq (0,0)$ und ${}(b,d)\neq (0,0)$. Aus der zweiten Gleichung folgt nach Fakt, dass es ein ${}s\in K$ gibt mit

${}x=sd\,$

und

${}y=-sb\,.$

Aus der ersten Gleichung ergibt sich

${}1=sda-sbc=s(da-bc)\,$

und somit

${}s={\frac {1}{da-bc}}\,$

und

${}x={\frac {d}{da-bc}}\,$

und

${}y=-{\frac {b}{da-bc}}\,.$

Aus der dritten Gleichung folgt, dass es ein ${}t\in K$ gibt mit

${}z=tc\,$

und

${}w=-ta\,.$

Aus der vierten Gleichung ergibt sich

${}1=tcb-tad=-t(da-bc)\,$

und somit

${}t=-{\frac {1}{da-bc}}\,$

und

${}z=-{\frac {c}{da-bc}}\,$

und

${}w={\frac {a}{da-bc}}\,.$

Somit ist

${}{\begin{aligned}M\circ A&={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}{\frac {d}{da-bc}}&-{\frac {b}{da-bc}}\\-{\frac {c}{da-bc}}&{\frac {a}{da-bc}}\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{da-bc}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{da-bc}}{\begin{pmatrix}ad-bc&-ab+ab\\cd-cd&-cb+da\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{da-bc}}{\begin{pmatrix}ad-bc&0\\0&-cb+da\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe