Matrix/3 4 -5 0 -1 4 0 0 7/Eigenräume/Aufgabe/Lösung

Aus der Matrix kann man direkt die drei Eigenwerte ${}3,-1,7$ ablesen. Daher ist die Matrix diagonalisierbar und die Eigenräume sind eindimensional.

Es ist

${}M-3E_{3}={\begin{pmatrix}0&4&-5\\0&-4&4\\0&0&4\end{pmatrix}}\,$

und der zugehörige Eigenraum ist

${}\operatorname {Eig} _{3}{\left(\varphi \right)}=\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\,.$

Es ist

${}M+1E_{3}={\begin{pmatrix}4&4&-5\\0&0&4\\0&0&8\end{pmatrix}}\,,$

es ist ${}{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}$ ein Element des Kernes und somit ist der zugehörige Eigenraum

${}\operatorname {Eig} _{-1}{\left(\varphi \right)}=\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}\,.$

Es ist

${}M-7E_{3}={\begin{pmatrix}-4&4&-5\\0&-8&4\\0&0&0\end{pmatrix}}\,,$

es ist ${}{\begin{pmatrix}-3\\2\\4\end{pmatrix}}$ ein Element des Kernes und somit ist der zugehörige Eigenraum

${}\operatorname {Eig} _{7}{\left(\varphi \right)}=\mathbb {R} {\begin{pmatrix}-3\\2\\4\end{pmatrix}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe