Matrix/610024007/R/Diagonalisierung/Aufgabe/Lösung

{\begin{pmatrix}6&1&0\\0&2&4\\0&0&7\end{pmatrix}}

ist

(X-6)(X-2)(X-7).

Es zerfällt also in Linearfaktoren mit verschiedenen Nullstellen und daher ist die Matrix diagonalisierbar. Die Eigenwerte sind ${}2,6,7$ . Es ist

{}2{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}6&1&0\\0&2&4\\0&0&7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-4&-1&0\\0&0&-4\\0&0&-5\end{pmatrix}}\,,

ein Eigenvektor zum Eigenwert ${}2$ ist ${}{\begin{pmatrix}1\\-4\\0\end{pmatrix}}$ . Ferner ist

{}6{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}6&1&0\\0&2&4\\0&0&7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1&0\\0&4&-4\\0&0&-1\end{pmatrix}}\,,

ein Eigenvektor zum Eigenwert ${}6$ ist ${}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$ . Schließlich ist

{}7{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}6&1&0\\0&2&4\\0&0&7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&5&-4\\0&0&0\end{pmatrix}}\,,

ein Eigenvektor zum Eigenwert ${}6$ ist ${}{\begin{pmatrix}4\\4\\5\end{pmatrix}}$ . Eine Basis aus Eigenvektoren ist also

{\begin{pmatrix}1\\-4\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}4\\4\\5\end{pmatrix}}.