Matrix/Eigenräume/3/Aufgabe/Lösung

Das charakteristische Polynom ist

${}{\begin{aligned}\chi _{M}&=\det {\begin{pmatrix}x-4&0&-3\\0&x+1&0\\-2&0&x-3\end{pmatrix}}\\&=(x-4)(x+1)(x-3)-6(x+1)\\&=(x+1)((x-4)(x-3)-6)\\&=(x+1)(x^{2}-7x+6).\end{aligned}}$

Dies ergibt zunächst den Eigenwert ${}-1$. Durch quadratisches Ergänzen (oder direkt) sieht man für den quadratischen Term die Nullstellen ${}1$ und ${}6$, die die weiteren Eigenwerte sind. Da es drei verschiedene Eigenwerte gibt ist klar, dass zu jedem Eigenwert der Eigenraum eindimensional ist.

Eigenraum zu ${}-1$: Man muss die Lösungsmenge von

${\begin{pmatrix}-5&0&-3\\0&0&0\\-2&0&-4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$

bestimmen. Eine Lösung ist offenbar der Spaltenvektor ${}{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}$, sodass der Eigenraum zu ${}-1$ gleich ${}\lambda {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}$ ist.

Eigenraum zu ${}1$: Man muss die Lösungsmenge von

${\begin{pmatrix}-3&0&-3\\0&2&0\\-2&0&-2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$

bestimmen. Eine Lösung ist offenbar der Spaltenvektor ${}{\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}$, sodass der Eigenraum zu ${}1$ gleich ${}\lambda {\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}$ ist.

Eigenraum zu ${}6$: Man muss die Lösungsmenge von

${\begin{pmatrix}2&0&-3\\0&7&0\\-2&0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$

bestimmen. Eine Lösung ist offenbar der Spaltenvektor ${}{\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}}$, sodass der Eigenraum zu ${}6$ gleich ${}\lambda {\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}}$ ist.

Zur gelösten Aufgabe