Matrizen/Isometrisch bezüglich Maximumsnorm/Aufgabe/Lösung

1. Wenn ${}M$ nicht invertierbar wäre, so gäbe es einen nichttrivialen Kern, sagen wir ${}v\in \mathbb {R} ^{n}$, ${}v\neq 0$, mit

   ${}Mv=0\,.$

   Dann ist aber

   ${}\Vert {v}\Vert \neq 0\,$

   und

   ${}\Vert {Mv}\Vert =0\,,$

   was der isometrischen Eigenschaft widerspricht.

2. Die Einheitsmatrix ist offenbar ${}\Vert {-}\Vert _{\rm {max}}$-isometrisch. Wenn ${}M$ und ${}N$ diese Eigenschaft haben, so ist wegen

   ${}{\begin{aligned}\Vert {(M\circ N)v}\Vert &=\Vert {M(Nv)}\Vert \\&=\Vert {Nv}\Vert \\&=\Vert {v}\Vert \end{aligned}}$

   die Verknüpfung ${}M\circ N$ ebenfalls ${}\Vert {-}\Vert _{\rm {max}}$-isometrisch. Wenn ${}N$ die inverse Matrix zur ${}\Vert {-}\Vert _{\rm {max}}$-isometrischen Matrix ${}M$ ist, so ist wegen

   ${}\Vert {Nv}\Vert =\Vert {M(Nv)}\Vert =\Vert {v}\Vert \,$

   auch ${}N$ ${}\Vert {-}\Vert _{\rm {max}}$-isometrisch.

3. In einer Permutationsmatrix ${}P$ steht in jeder Zeile und in jeder Spalte genau eine ${}1$. Daher ist ${}Pv$ ein Vektor, der die Einträge von ${}v$ permutiert. Das Maximum der Beträge bleibt dabei gleich.
4. Ein Beispiel ist

   ${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}}.$

5. In einer Vorzeichen-Permutationsmatrix ${}M$ steht in jeder Zeile und in jeder Spalte genau eine ${}1$ oder eine ${}-1$. Daher ist ${}Mv$ ein Vektor, der die Einträge von ${}v$ permutiert und eventuell mit einem Vorzeichen versieht. Das Maximum der Beträge bleibt dabei gleich.
6. Es sei ${}M$ ${}\Vert {-}\Vert _{\rm {max}}$-isometrisch. Für jeden Standardvektor ${}e_{i}$ ist die Maximumsnorm von ${}Me_{i}$ gleich ${}1$. Das bedeutet, dass in jeder Spalte von ${}M$ eine ${}1$ oder eine ${}-1$ vorkommt. In der ${}j$-ten Spalte der Matrix sei der ${}i$-te Eintrag gleich ${}1$ oder ${}-1$. Wir betrachten den Vektor

   ${}v={\begin{pmatrix}\pm 1\\\pm 1\\\vdots \\\pm 1\end{pmatrix}}\,,$

   der die Maximumsnorm ${}1$ besitzt, wobei wir das Vorzeichen an der ${}k$-ten Stelle genau dann positiv wählen, wenn ${}a_{ik}\geq 0$ ist. Dann ist

   ${}(Mv)_{i}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}(\pm 1)=\sum _{k=1}^{n}\vert {a_{ik}}\vert =1+\sum _{k=1,k\neq j}^{n}\vert {a_{ik}}\vert \,.$

   Wegen der Isometrie muss dies ${}1$ sein, d.h. in der ${}i$-ten Zeile muss überall abgesehen von der Stelle ${}(i,j)$ eine ${}0$ stehen. Wenn in einer Spalte mehr als zwei Einträge ${}\neq 0$ wären, so wären die Zeilen zu diesen Stellen linear abhängig, was Teil (1) widerspricht. Somit ist ${}M$ eine Vorzeichen-Permutationsmatrix.

Zur gelösten Aufgabe