Matrizen/Isometrisch bezüglich Maximumsnorm/Aufgabe
Der sei mit der Maximumsnorm
versehen. Wir interessieren und für die reellen Matrizen
mit der Eigenschaft
für alle . Eine solche Matrix nennen wir -isometrisch.
- Zeige, dass eine -isometrische Matrix invertierbar ist.
- Zeige, dass die Menge der -isometrischen Matrizen eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe bildet.
- Zeige, dass eine Permutationsmatrix -isometrisch ist.
- Unter einer Vorzeichen-Permutationsmatrix verstehen wir eine Matrix, die aus einer Permutationsmatrix entsteht, indem man eintragsweise vor die jeweils ein oder ein -Zeichen setzt. Man gebe ein Beispiel für eine -Vorzeichen-Permutationsmatrix, die keine Permutationsmatrix und keine obere Dreiecksmatrix ist und deren Determinante gleich ist.
- Zeige, dass eine Vorzeichen-Permutationsmatrix -isometrisch ist.
- Zeige, dass jede -isometrische Matrix eine Vorzeichen-Permutationsmatrix ist.