Matrizen/R/Symmetrisch und antisymmetrisch/Dimension/Aufgabe/Lösung

a) Die Nullmatrix ist symmetrisch und antisymmetrisch. Für zwei symmetrische Matrizen ${}T_{1}=(a_{ij})_{ij}$ und ${}T_{2}=(b_{ij})_{ij}$ und Skalare ${}r,s\in \mathbb {R}$ ist

${}rT_{1}+sT_{2}=(ra_{ij}+sb_{ij})_{ij}\,$

offenbar wieder symmetrisch, daher liegt eine Untervektorraum vor.

b) Alle Diagonalmatrizen sind symmetrisch und die Diagonalmatrizen ${}D_{i}$, für die der ${}i$-te Diagonaleintrag eine ${}1$ ist und für die alle anderen Einträge ${}0$ sind, bilden eine Basis davon. Ferner sind für ${}i>j$ die Matrizen ${}E_{ij}$, für die

${}a_{ij}=a_{ji}=1\,$

und alle übrigen Einträge ${}0$ sind, ebenfalls symmetrisch. Diese bilden eine Basis aller symmetrischen Matrizen, wie man sieht, wenn man von allen Matrizen die oberen Dreiecksausschnitte betrachtet. Die Dimension dieses Raumes ist somit

${}n+1+2+\cdots +n-1={\frac {n(n+1)}{2}}\,.$

c) Für eine Linearkombination zweier antisymmetrischer Matrizen wie in a) ist der Eintrag ${}c_{ij}$ gleich

${}ra_{ij}+sb_{ij}=\,$

und der Eintrag ${}c_{ji}$ gleich

${}c_{ji}=ra_{ji}+sb_{ji}=r(-a_{ij})+s(-b_{ij})=-(ra_{ij}+sb_{ij})=-c_{ij}\,,$

daher ergibt dies wieder antisymmetrische Matrizen.

d) Wegen

${}a_{ii}=-a_{ii}\,$

müssen die Diagonaleinträge von antisymmetrischen Matrizen gleich ${}0$ sein. Für ${}i>j$ legt der Eintrag ${}a_{ij}$ den Eintrag ${}a_{ji}$ fest. Für ${}i>j$ seien ${}F_{ij}$ die antisymmetrischen Matrizen mit ${}a_{ij}=1$ und ${}a_{ji}=-1$, wobei alle übrigen Einträge gleich ${}0$ seien. Diese bilden eine Basis des Raumes aller antisymmetrischen Matrizen, dessen Dimension somit ${}{\frac {n(n-1)}{2}}$ ist.

e) Es ist

${}{\begin{pmatrix}3&6\\1&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&{\frac {7}{2}}\\{\frac {7}{2}}&2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&{\frac {5}{2}}\\-{\frac {5}{2}}&0\end{pmatrix}}\,.$

f) Es sei ${}T$ eine sowohl symmetrische als auch antisymmetrische Matrix. Dann ist direkt

${}a_{ij}=-a_{ji}=-a_{ij}\,$

und daher ist

${}a_{ij}=0\,.$

Es liegt also die Nullmatrix vor und somit ist

${}S\cap A=0\,.$

Wegen

${}{\frac {n(n+1)}{2}}+{\frac {n(n-1)}{2}}=n^{2}\,$

ist die Summe der Dimensionen der beiden Unterräume gleich der Dimension des Matrizenraumes, daher liegt eine direkte Summenzerlegung

${}M=S\oplus A\,$

vor.

Zur gelösten Aufgabe