Matrizen/R/Symmetrisch und antisymmetrisch/Dimension/Aufgabe

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und es sei ${}M$ der reelle Vektorraum aller ${}n\times n$ -Matrizen.

a) Zeige, dass die Menge ${}S$ der symmetrischen ${}n\times n$ -Matrizen ein Untervektorraum von ${}M$ ist.

b) Bestimme die Dimension von ${}S$ .

c) Zeige, dass die Menge ${}A$ der antisymmetrischen ${}n\times n$ -Matrizen ein Untervektorraum von ${}M$ ist.

d) Bestimme die Dimension von ${}A$ .

e) Schreibe die Matrix

{\begin{pmatrix}3&6\\1&2\end{pmatrix}}

als Summe einer symmetrischen und einer antisymmetrischen Matrix.

f) Zeige, dass ${}M$ die direkte Summe aus ${}S$ und ${}A$ ist.